奇函数加奇函数(奇函数÷奇函数是偶函数吗)

头条的老朋友@q皮卡丘在留言里问:

老师，如果f(x+1)是奇函数，为什么f(-x+1)=-f(x+1)？我一直不明白这一点。总觉得所有的x+1都应该改成-。为什么不能视为一个整体？网上有一些解释，比如图像平移，但是其他的解释我就不懂了。

看下面的栗子。

从上面的栗子看出两点:

1.如果f(x+1)是奇函数，不代表f(x)是奇函数；另一方面，f(x)是奇函数并不意味着f(x+1)是奇函数。也就是说f(x)是奇函数和f(x+1)是奇函数是两回事。

一般来说，如果没有周期，f(x)和f(x+1)同时是奇函数的可能性不大。毕竟要翻译一个单位。如果其中一个函数是奇函数，图像关于(0，0)对称，则平移一个单位后对称中心不再是(0，0)。

2.不管是f(x)还是f(x+1)，函数的自变量总是x，看看上面的六个栗子，不是吗？

如果承认第2点的事实，那么根据奇函数的定义:如果自变量相反，函数值也相反。

所以f(x+1)是奇函数，等价于f(-x+1)=-f(x+1)。

你说，为什么不能整体来看？

当然可以。

设x+1=t，则f(x+1)转化为f(t)。是不是说f(x+1)是奇函数，f(t)是奇函数？

如果你回答“是”，那就和我上面提到的第一点相矛盾了。

也就是说，你可以通过换元法把奇函数的f(x+1)换成奇函数的f(x)？

怎么了?

脑子里要一直有自变量的概念。在你说一个函数是不是奇偶函数之前，你要确定哪个是自变量，也就是关于哪个自变量的奇偶函数。

就给我举个栗子。

F(x+1)是关于x的函数，是关于x的奇函数；F(t)是关于t的函数，但不是关于t的奇函数.

所以，为了让你记住f(x+1)是自变量x的函数，我建议这样。

当然，我同意你的感觉:的确，从意象翻译的角度来理解更好。

f(-x+1)=-f(x+1)表示的函数特性也是图像关于(1，0)的对称性。

希望对你有帮助。